Γιατί το Άθροισμα Τριών Κύβων είναι Δύσκολο Μαθηματικό Πρόβλημα;

Μπορεί να φαίνεται απλό, αλλά η αναπαράσταση ενός αριθμού ως άθροισμα τριών κύβων: \[ x^3 + y^3 + z^3 = n \] είναι από τα πιο αινιγματικά προβλήματα της θεωρίας αριθμών. 

Αν και για κάποιες τιμές του $n$ υπάρχουν εύκολες λύσεις, για άλλες απαιτούνται τεράστιοι υπολογιστικοί πόροι και προχωρημένα μαθηματικά. 

Για παράδειγμα, ο αριθμός $3$ είχε δύο γνωστές λύσεις για δεκαετίες: \[ 3 = 1^3 + 1^3 + 1^3, \quad \text{και} \quad 3 = 4^3 + 4^3 + (-5)^3. \] Αλλά η ανακάλυψη τρίτης λύσης έγινε μόλις το 2019 από τους Andrew Booker και Andrew Sutherland: 

$3 = 569{,}936{,}821{,}221{,}962{,}380{,}720^3 +$ 

$+(-569{,}936{,}821{,}113{,}563{,}493{,}509)^3 +$ 

$+(-472{,}715{,}493{,}453{,}327{,}032)^3.$ 

Η δυσκολία προκύπτει από το γεγονός ότι οι κύβοι μπορεί να είναι θετικοί ή αρνητικοί, αλλά οι λύσεις είναι σπάνιες και ο χώρος αναζήτησης άπειρος. Μία έξυπνη τεχνική είναι να ξαναγράψουμε την εξίσωση ως: \[ x^3 + y^3 = n - z^3 \] και να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο παραγοντοποίησης: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] για να μειώσουμε το πλήθος των περιπτώσεων που εξετάζουμε. Παρόλα αυτά, για αριθμούς όπως το $33$, χρειάστηκαν υπερυπολογιστές και προηγμένοι αλγόριθμοι για να βρεθεί ότι: 

$33 = 8{,}866{,}128{,}975{,}287{,}528^3 +$ 

$+(-8{,}778{,}405{,}442{,}862{,}239)^3 + $

$+(-2{,}736{,}111{,}468{,}807{,}040)^3. $

Αυτό δείχνει πως ακόμη και «αθώα» προβλήματα που μοιάζουν κατάλληλα για λύση από μαθητές, παραμένουν ενεργό πεδίο έρευνας στην καρδιά των μαθηματικών.