Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [34]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, όπου ισχύει 

$f'(x)f(x)=e^{2x}(x^2+x+1)$ 

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και 

$\int_0^x (f''(t)+f(t)) ημ t dt = f(\pi)+1$.

$\Delta_1$ Να δείξετε ότι 

$f^2(x)-e^{2x}(x^2+1)=C$ 

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι 

$f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}$, $A=\mathbb{R}$.

$\Delta_2$ Να βρεθεί η μονοτονία της $f$, το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση 

$e^{e^{εφx}-x} > \sigma \upsilon \nu x \cdot \sqrt{x^2+1}$, $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\Delta_3$ Αν η $g$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ και ισχύει ότι

 $(g(0))^{f(x)-2025} + (g(1))^{2025-f(x)} \ge 2$ 

για $x \in \mathbb{R}$ να δείξετε ότι η εξίσωση 

$(f(x))^{x-1} = e^{g(x)}$ 

έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

$\Delta_4$ Αν 

$\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \ln(\sqrt{2}+1)$ 

να υπολογίσετε το 

$I=\int_0^1 \dfrac{f(lnx)}{x^2} dx$.