Ο Κουρτ Γκέτελ, μέσα από τα περίφημα θεωρήματά του, δεν απλώς ανέδειξε τα όρια των αξιωματικών συστημάτων στα μαθηματικά, αλλά έθεσε ένα νέο πλαίσιο για την έννοια του «περιεχομένου» στις μαθηματικές προτάσεις.
Το βασικό του εύρημα είναι ότι σε κάθε συνεπές αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό ώστε να εκφράσει την αριθμητική, υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα στο ίδιο σύστημα.
Αυτό σημαίνει ότι η αλήθεια στα μαθηματικά υπερβαίνει την αποδεικτική ικανότητα των τυπικών συστημάτων — το περιεχόμενο των μαθηματικών δηλώσεων δεν ταυτίζεται με τη δυνατότητα απόδειξής τους.Αυτή η διάκριση ανάμεσα σε «αλήθεια» και «απόδειξη» οδηγεί σε μια βαθύτερη κατανόηση του τι σημαίνει το περιεχόμενο μιας μαθηματικής πρότασης: δεν είναι απλά το σύνολο των κανόνων που την καθορίζουν, αλλά και η αλήθεια που αυτή αντιπροσωπεύει σε ένα ευρύτερο μαθηματικό «σύμπαν». Με άλλα λόγια, το μαθηματικό περιεχόμενο αναφέρεται στο νόημα και στην ερμηνεία των προτάσεων πέρα από τις τυπικές αποδείξεις.
Η προσέγγιση του Γκέτελ υποστηρίζει ότι η σημασιολογική πλευρά — το περιεχόμενο — είναι κρίσιμη για την πλήρη κατανόηση των μαθηματικών και ότι η μαθηματική αλήθεια δεν μπορεί να περιοριστεί απλά σε ένα σύστημα κανόνων ή αξιωμάτων.
Αυτό ανοίγει το δρόμο για μια φιλοσοφική θεώρηση των μαθηματικών ως επιστήμης που εμπλέκει όχι μόνο τον τυπικό λογισμό, αλλά και την ερμηνεία, τη γλώσσα και το νόημα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου