Μια Σύντομη Εισαγωγή στα Πολυώνυμα Legendre

Τα πολυώνυμα Legendre είναι μια ιδιαίτερη οικογένεια ορθογωνίων πολυωνύμων που παίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλές εφαρμογές των μαθηματικών και της φυσικής — από την επίλυση διαφορικών εξισώσεων έως την περιγραφή σφαιρικών αρμονικών.

Ορισμός και Ιδιότητες

Ένας τρόπος για να ορίσουμε τα πολυώνυμα Legendre είναι μέσω των εξής ιδιοτήτων:

• Το πρώτο πολυώνυμο είναι:

  $P_0(x)=1$

• Τα πολυώνυμα $P_k(x)$ είναι ορθογώνια στην κλασική περιοχή ολοκλήρωσης $[-1, 1]$:

  $${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=0\text{αν}m\mathrm{\ne }n$$

• Κανονικοποιούνται έτσι ώστε:

  $$P_k(1)=1\text{για κ}\acute{\text{α}}\text{θε }k\ge 0$$

Η απαίτηση της ορθογωνιότητας μεταξύ των $P_k$ καθορίζει το κάθε πολυώνυμο μέχρι μια σταθερά, ενώ η συνθήκη $P_k(1) = 1$ ορίζει αυτή τη σταθερά πλήρως.

Τα Πρώτα Πολυώνυμα Legendre

Τα πρώτα λίγα πολυώνυμα έχουν την εξής μορφή:

• $P_0(x) = 1$
  

• $P_1(x) = x$
  

• $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$
  

• $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$
  

• …και ούτω καθεξής.

Αν απεικονίσουμε τα πολυώνυμα αυτά γραφικά στο διάστημα [−1,1], παρατηρείται ένα ενδιαφέρον μοτίβο λευκών ζωνών (σημείων μηδενισμού), που γίνεται όλο και πιο περίπλοκο όσο αυξάνεται ο βαθμός του πολυωνύμου. Αυτές οι ζώνες έχουν και γεωμετρική, αλλά και αναλυτική σημασία.

Η Διαφορική Εξίσωση του Legendre

Κάθε πολυώνυμο $P_k(x)$ ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση του Legendre:

$$(1-x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2x{y}^{\mathrm{\prime }}+k(k+1)y=0$$

Αυτή η εξίσωση προκύπτει φυσικά στο πλαίσιο της μελέτης των σφαιρικών αρμονικών και της ανάλυσης πεδίων σε σφαιρικές συντεταγμένες.

Μια Γεωμετρική Εφαρμογή: Ανάπτυξη του 1/y

Ας εξετάσουμε τώρα ένα γεωμετρικό κίνητρο που εμφανίζεται σε φυσικές εφαρμογές.

Έστω τρίγωνο με μία πλευρά μήκους 1 και άλλες δύο πλευρές μήκους $r$ και $y$, με γωνία $\theta$ μεταξύ των πλευρών μήκους 1 και $r$. Ο νόμος των συνημιτόνων δίνει:

$$y = \sqrt{1 - 2r \cos\theta + r^2}$$

Αν μας ενδιαφέρει να εκφράσουμε το αντίστροφο $\frac{1}{y}$ ως σειρά ως προς το $\frac{1}{r}$, τότε τα πολυώνυμα Legendre κάνουν την εμφάνισή τους:

$$\frac{1}{y} = \frac{P_0(\cos\theta)}{r} + \frac{P_1(\cos\theta)}{r^2} + \frac{P_2(\cos\theta)}{r^3} + \cdots$$

Αυτή η ανάπτυξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη θεωρία δυναμικού, στην ηλεκτροστατική, καθώς και στην αριθμητική ολοκλήρωση σε σφαιρικές περιοχές.