32nd International Mathematics Competition (IMC) 2025 – ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ και οι Ελληνικές Επιτυχίες

Ολοκληρώθηκε χθες ο φετινός Παγκόσμιος Διαγωνισμός Μαθηματικών για Φοιτητές (IMC), με εντυπωσιακή παρουσία των ελληνικών πανεπιστημίων.

Οι Έλληνες φοιτητές κατέκτησαν συνολικά:

• 3 Πρώτα Βραβεία
• 3 Δεύτερα Βραβεία
• 4 Τρίτα Βραβεία
• 3 Εύφημες Μνείες

Οι βάσεις των βραβείων ήταν: 34 / 44 / 56.

Αποτελέσματα ανά Πανεπιστήμιο

Φοιτητής	Σκορ	Διάκριση
ΕΚΠΑ
Ορέστης Λιγνός	81	Πρώτο Βραβείο
Αναστάσιος Παστός	60	Πρώτο Βραβείο
Ερμής Σουλδάτος	41	Τρίτο Βραβείο
Ηλίας Γομάτος	30	Εύφημη Μνεία
Θέμελης Μαμουζέλος	30	Εύφημη Μνεία
Δημήτρης Φωτόπουλος	17	Συμμετοχή
ΕΜΠ
Γεώργιος Βάος	64	Πρώτο Βραβείο
Παναγιώτης Κωνσταντόπουλος	43	Τρίτο Βραβείο
Ιωάννης Μαυρίκος	42	Τρίτο Βραβείο
Ιωάννης Φωτόγλου	37	Τρίτο Βραβείο
ΑΠΘ
Ιωάννης Γαλαμάτης	54	Δεύτερο Βραβείο
Κωνσταντίνος Φωτιάδης	47	Δεύτερο Βραβείο
Χρήστος Οικονομίδης	21	Εύφημη Μνεία
Αστέριος Βαρσάμης-Κυρατλίδης	18	Συμμετοχή
Ευστάθιος Εξάρχου	17	Συμμετοχή
Γεώργιος Κεντρώτης	13	Συμμετοχή
Αθανάσιος Ντομπάζης	10	Συμμετοχή
Πανεπιστήμιο Πατρών
Γεώργιος Σουκαράς	48	Δεύτερο Βραβείο
Φοίβος Σμυρίλιος	16	Συμμετοχή
Κωνσταντίνος Ρούπτσος	14	Συμμετοχή

Προβλήματα Πρώτης Ημέρας

Πρόβλημα 1:

Έστω \( P \in \mathbb{R}[x] \) ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, και ας υποθέσουμε ότι \(\deg P \ge 2\). Για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), έστω \(\ell_x \in \mathbb{R}^2\) η ευθεία που εφάπτεται στο γράφημα του \(P\) στο σημείο \((x, P(x))\).

1. Αν ο βαθμός του \(P\) είναι περιττός, να αποδείξετε ότι \(\displaystyle \bigcup_{x \in \mathbb{R}} \ell_x = \mathbb{R}^2\).
2. Υπάρχει πολυώνυμο άρτιου βαθμού για το οποίο η παραπάνω ισότητα ισχύει;

Πρόβλημα 2:

Έστω \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) δις συνεχώς παραγωγίσιμη, με \(\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = 0\) και \(f(1)=f(-1)=1\). Να αποδείξετε ότι \[ \int_{-1}^{1} \big(f''(x)\big)^2\, dx \ge 15 \] και να βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει ισότητα.

Πρόβλημα 3:

Συμβολίζουμε με \(\mathcal{S}\) το σύνολο των πραγματικών συμμετρικών \(2025 \times 2025\) πινάκων τάξης 1 με στοιχεία \(-1\) ή \(+1\). Αν \(A, B \in \mathcal{S}\) επιλέγονται ανεξάρτητα και ισοπίθανα, βρείτε την πιθανότητα ώστε \(AB = BA\).

Πρόβλημα 4:

Έστω \(a\) άρτιος θετικός ακέραιος. Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) τέτοιους ώστε \[ \Big\lfloor \sqrt[a]{b^a + x}\cdot b^{a-1} \Big\rfloor = b^a + \lfloor x/a \rfloor \] για κάθε θετικό ακέραιο \(b\).

Πρόβλημα 5:

Για ένα θετικό ακέραιο \(n\), έστω \([n] = \{1,2,\dots,n\}\), \(S_n\) το σύνολο των 1-1 και επί απεικονίσεων από \([n]\) στο \([n]\) και \(T_n\) το σύνολο όλων των απεικονίσεων από \([n]\) στο \([n]\). Ορίζουμε την τάξη \(\mathrm{ord}(\tau)\) μιας απεικόνισης \(\tau \in T_n\) ως τον αριθμό των διαφορετικών απεικονίσεων στο \(\{\tau, \tau \circ \tau, \tau \circ \tau \circ \tau, \dots\}\). Τέλος, έστω \[ f(n) = \max_{\tau \in S_n} \mathrm{ord}(\tau), \quad g(n) = \max_{\tau \in T_n} \mathrm{ord}(\tau). \] Να αποδείξετε ότι \[ g(n) < f(n) + n^{0.501} \] για αρκούντως μεγάλα \(n\).

Προβλήματα Δεύτερης Ημέρας

Πρόβλημα 6:

Έστω \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) μία συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, και έστω \(b > a > 0\) πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε \(f(a)=f(b)=k\). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο \(\xi \in (a, b)\) τέτοιο ώστε \[ f(\xi)-\xi f'(\xi)=k. \]

Πρόβλημα 7:

Έστω \(\mathbb{Z}_{>0}\) το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλα τα μη κενά σύνολα \( M \subseteq \mathbb{Z}_{>0} \) που ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Αν \( x \in M \), τότε \( 2x \in M \).
2. Αν \( x, y \in M \) και \( x+y \) είναι άρτιος, τότε \(\dfrac{x+y}{2} \in M \).

Πρόβλημα 8:

Για έναν \( n \times n \) πραγματικό πίνακα \( A \in M_n(\mathbb{R}) \), συμβολίζουμε με \( A^{\mathbb{R}} \) τη στροφή του κατά \(90^{\circ}\) με φορά αντίθετη από αυτή του ρολογιού. Για παράδειγμα, \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}^{\mathbb{R}} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 4 & 7 \end{bmatrix}. \] Να αποδείξετε ότι αν \( A = A^{\mathbb{R}} \), τότε για κάθε ιδιοτιμή \(\lambda\) του \(A\) ισχύει ότι είτε \(\operatorname{Re} \lambda = 0\) είτε \(\operatorname{Im} \lambda = 0\).

Πρόβλημα 9:

Έστω \(n\) ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε την παρακάτω τυχαία διαδικασία που παράγει μία ακολουθία \( n \) διαφορετικών ακεραίων \( X_1, X_2, \ldots, X_n \).

Αρχικά, ο \( X_1 \) επιλέγεται τυχαία με \(\mathbb{P}(X_1=i) = 2^{-i}\) για κάθε θετικό ακέραιο \( i \). Για \( 1 \le j \le n-1 \), έχοντας επιλέξει τους \( X_1, \ldots, X_j \), θεωρούμε τους υπόλοιπους θετικούς ακεραίους σε αύξουσα σειρά ως \( n_1 < n_2 < \cdots \), και επιλέγουμε τον \( X_{j+1} \) τυχαία με \(\mathbb{P}(X_{j+1} = n_i) = 2^{-i}\) για κάθε θετικό ακέραιο \( i \).

Έστω \[ Y_n = \max \{ X_1, \ldots, X_n \}. \] Να αποδείξετε ότι \[ \mathbb{E}[Y_n] = \sum_{i=1}^n \frac{2^i}{2^i-1}, \] όπου \(\mathbb{E}[Y_n]\) είναι η μέση τιμή του \(Y_n\).

Πρόβλημα 10:

Για κάθε θετικό ακέραιο \( N \), έστω \( S_N \) το πλήθος των ζευγών \( 1 \le a, b \le N \) που είναι τέτοια ώστε ο αριθμός \((a^2+a)(b^2+b)\) να είναι τέλειο τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι το όριο \[ \lim_{N \to \infty} \frac{S_N}{N} \] υπάρχει και να το υπολογίσετε.

Πηγή: mathematica