Ο Αρμονικός Μέσος στις Βάσεις του Τραπεζίου

Έστω τραπέζιο \(ABCD\) με βάσεις \(AB \parallel CD\). Οι διαγώνιοι \(AC\) και \(BD\) τέμνονται στο σημείο \(K\). Από το σημείο \(K\) φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τις βάσεις, η οποία τέμνει τις πλευρές \(AD\) και \(BC\) στα σημεία \(P\) και \(Q\) αντίστοιχα.

Τότε, το μήκος του τμήματος \(PQ\) είναι ο αρμονικός μέσος των βάσεων \(AB\) και \(CD\):

\[ PQ = \frac{2 \cdot AB \cdot CD}{AB + CD} \]

Ισοδύναμα:

\[ \frac{1}{PQ} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} \right) \]

Πρόκειται για μια όμορφη σχέση που συνδέει την εσωτερική γεωμετρία του τραπεζίου με την έννοια του αρμονικού μέσου.