Καμπυλότητα Καμπύλης (Curvature) – Ορισμός, Τύποι & Παραδείγματα ✨

Η καμπυλότητα είναι ένας αριθμός που συνδέεται με κάθε σημείο μιας ομαλής καμπύλης και μετρά το «πόσο λυγίζει» η καμπύλη εκεί. 🧭 Η ευθεία γραμμή έχει καμπυλότητα 0, ενώ ένας κύκλος ακτίνας \(r\) έχει σταθερή καμπυλότητα \(\kappa = 1/r\). Όσο μικραίνει η ακτίνα, τόσο μεγαλύτερη η καμπύλωση.

Ιδέα: Η καμπυλότητα περιγράφει πόσο γρήγορα αλλάζει η διεύθυνση της εφαπτομένης όταν κινείσαι πάνω στην καμπύλη.

Γεωμετρική Ερμηνεία 🎯

Η καμπυλότητα μπορεί να ερμηνευτεί ως η αντίστροφη της ακτίνας καμπυλότητας (radius of curvature): (\kappa = 1/\rho).

Σε κάθε σημείο μιας καμπύλης, υπάρχει ένας "καλύτερος προσεγγιστικός κύκλος" (osculating circle) που εφάπτεται της καμπύλης και την προσεγγίζει καλύτερα από οποιονδήποτε άλλον κύκλο - η ακτίνα του είναι (\rho = 1/\kappa).

Τύποι Καμπυλότητας 🧮

1) Γραφική Παράσταση \(y=f(x)\)

Για διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση \(f(x)\), η καμπυλότητα στο σημείο \((x, f(x))\) είναι:

\[\kappa(x) = \dfrac{f''(x)}{\big(1+(f'(x))^2\big)^{3/2}}.\]

2) Παραμετρική Μορφή \((x(t),\, y(t))\)

Για καμπύλη \(x=x(t),\; y=y(t)\):

\[\kappa(t) = \dfrac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)}{\big(x'(t)^2+y'(t)^2\big)^{3/2}}.\]

3) Διανυσματική Μορφή \(\mathbf{r}(t)\) (στο \(\mathbb{R}^3\))

Με ταχύτητα \(\mathbf{v}=\mathbf{r}'(t)\) και επιτάχυνση \(\mathbf{a}=\mathbf{r}''(t)\):

\[\kappa(t) = \frac{\lVert\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)\rVert}{\lVert\mathbf{v}(t)\rVert^{3}}.\]

Η έκφραση αυτή είναι ανεξάρτητη της παραμετροποίησης (για θετική ταχύτητα): η καμπυλότητα είναι ιδιότητα της ίδιας της καμπύλης, όχι του τρόπου που την διατρέχουμε.

Παραδείγματα 🔎

Α) Ευθεία Γραμμή

Έστω \(y=mx+b\). Τότε \(f'(x)=m\), \(f''(x)=0\), άρα:

\[\kappa(x)=\frac{0}{(1+m^2)^{3/2}}=0.\]

Β) Κύκλος Ακτίνας \(r\)

Παραμετρικά: \(x(t)=r\cos t\), \(y(t)=r\sin t\). Τότε \(x'(t)=-r\sin t\), \(y'(t)=r\cos t\), \(x''(t)=-r\cos t\), \(y''(t)=-r\sin t\). Υπολογίζοντας:

\[x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)=r^2,\quad x'(t)^2+y'(t)^2=r^2.\]

Άρα:

\[\kappa(t)=\frac{r^2}{(r^2)^{3/2}}=\frac{1}{r}.\]

Γ) Παραβολή \(y=x^2\)

\(f'(x)=2x\), \(f''(x)=2\). Τότε:

\[\kappa(x)=\frac{2}{\big(1+4x^2\big)^{3/2}}.\]

Στο \(x=0\): \(\kappa(0)=2\) (μέγιστη τιμή), και μειώνεται όσο απομακρυνόμαστε από την κορυφή.

Δ) Έλικα στο Διάστημα

\(\mathbf{r}(t)=(\cos t,\; \sin t,\; t)\). Τότε \(\mathbf{v}=(-\sin t,\; \cos t,\; 1)\), \(\mathbf{a}=(-\cos t,\; -\sin t,\; 0)\). Υπολογίζοντας:

\[\lVert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rVert=\sqrt{2},\quad \lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{2}\;\Rightarrow\; \kappa(t)=\tfrac{1}{2}.\]

Η καμπυλότητα της συγκεκριμένης έλικας είναι σταθερή.

Συμπέρασμα ✅
• Ευθεία: \(\kappa=0\) 

· Κύκλος: \(\kappa=1/r\) 

· Παραβολή: \(\kappa(x)=\frac{2}{(1+4x^2)^{3/2}}\) 

· Έλικα: σταθερή \(\kappa=1/2\).
• Η καμπυλότητα ποσοτικοποιεί το «πόσο έντονα» λυγίζει μια καμπύλη σε κάθε σημείο.