Τριγωνομετρία: Αναλυτικός Οδηγός

Τι είναι η Τριγωνομετρία;

Επιστήμη που μελετά τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών τριγώνων, χρησιμοποιώντας συναρτήσεις όπως το ημίτονο (sin), το συνημίτονο (cos) και την εφαπτομένη (tan).

1. Τι είναι η Τριγωνομετρία;

Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ των γωνιών και των πλευρών ενός τριγώνου. Ιδιαίτερα σε ορθογώνια τρίγωνα, συνδέει τις γωνίες με λόγους μήκους πλευρών μέσω των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο (sin), συνημίτονο (cos), εφαπτομένη (tan).

Χρησιμοποιείται σε αστρονομία, πλοήγηση, μηχανική, αρχιτεκτονική, γραφικά υπολογιστών, ιατρική απεικόνιση κ.ά.

2. Ιστορικό Σημείωμα

Η τριγωνομετρία πρωτοεμφανίστηκε στον 3ο αιώνα π.Χ. στην Ελλάδα, με εφαρμογές στην αστρονομία. Οι Έλληνες ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό της χορδής του κύκλου, ενώ στην Ινδία δημιουργήθηκαν τα πρώτα τραπέζια ημιτόνων.

3. Μονάδες Μέτρησης Γωνιών

- Μοίρες (°): Ο πλήρης κύκλος είναι 360°.
- Ακτίνια (radians): Ο πλήρης κύκλος είναι \(2\pi\) ακτίνια.

Μετατροπή μεταξύ μοίρας και ακτινίου:

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad}, \quad x^\circ = \frac{\pi x}{180} \text{ rad}, \quad x \text{ rad} = \frac{180x}{\pi}^\circ \]

Προσοχή: Ελέγχετε πάντα αν η αριθμομηχανή σας βρίσκεται σε DEG ή RAD πριν υπολογίσετε γωνίες.

4. Βασικοί Ορισμοί σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία \( \alpha \):

• $\sin \alpha = \dfrac{\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$
• $\cos \alpha = \dfrac{\text{παρακείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$
• $\tan \alpha = \dfrac{\text{απέναντι πλευρά}}{\text{παρακείμενη πλευρά}} = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Αντίστροφες συναρτήσεις:

\[ \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \]

5. Μονάδα Κύκλου (Unit Circle)

Ο μοναδιαίος κύκλος έχει ακτίνα 1. Οι συντεταγμένες του σημείου στο κύκλο για γωνία \( x \) είναι: \( (\cos x, \sin x) \).

Ιδιότητες:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Περιοδικότητα:

\[ \sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \tan(x + \pi) = \tan x \]

Συμμετρίες:

\[ \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x \]

6. Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Πρόσθεση / Αφαίρεση γωνιών

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta, \\ \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta, \\ \tan(\alpha \pm \beta) &= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned} \]

Διπλή Γωνία

\[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, \quad \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 \]

Ημι-Γωνία

\[ \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}, \quad \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2} \]

Γινόμενο ↔ Άθροισμα

\[ \begin{aligned} \sin A \sin B &= \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)], \\ \cos A \cos B &= \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)], \\ \sin A \cos B &= \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] \end{aligned} \]

7. Ειδικές Τιμές (μοίρες / ακτίνια)

8. Επίλυση Τριγώνων

8.1. Ορθογώνιο Τρίγωνο

Με γνωστή οξεία γωνία και μια πλευρά, χρησιμοποιούμε SOH-CAH-TOA για να βρούμε τις υπόλοιπες πλευρές.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

\[ E = \frac{1}{2} ab \]

Στην περίπτωση γενικού τριγώνου με γωνία \(\gamma\):

\[ E = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]

8.2. Γενικό Τρίγωνο

Νόμος των ημιτόνων:

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]

όπου \(R\) είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Νόμος των συνημιτόνων:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]

Τύπος Ήρωνα για το εμβαδόν:

\[ s = \frac{a + b + c}{2}, \quad E = \sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)} \]

Σημείωση: Μπορεί να υπάρχουν δύο, μία ή καμία λύση όταν χρησιμοποιείται ο νόμος των ημιτόνων σε ορισμένες περιπτώσεις.

9. Γραφήματα – Τριγωνομετρικά Κύματα

Συνάρτηση:

\[ y = A \sin (\omega x + \varphi) + D \]

• A: πλάτος
• D: κατακόρυφη μετατόπιση
• \(\omega\): γωνιακή συχνότητα (περίοδος \( T = \frac{2\pi}{\omega} \))
• \(\varphi\): φάση (οριζόντια μετατόπιση)

10. Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Οι συναρτήσεις arcsin, arccos, arctan δίνουν τη γωνία από λόγο πλευρών.

Ορισμένα διαστήματα τιμών:

• \( \arcsin, \arctan \in [-\pi/2, \pi/2] \)
• \( \arccos \in [0, \pi] \)

11. Τριγωνομετρικές Εξισώσεις & Ανισώσεις

Χρήση ταυτοτήτων και αντικατάσταση \( t = \tan \frac{x}{2} \) (Weierstrass) για λύσεις.

Γενική λύση για \( \sin x = k \):

\[ x = (-1)^n \arcsin k + n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

12. Εφαρμογές

Φυσική κυμάτων, ηλεκτρικά κυκλώματα AC, μηχανική, ναυτιλία, γραφικά υπολογιστών, περιστροφές, ιατρική απεικόνιση, GPS.

Μήτρα περιστροφής γύρω από τον άξονα z:

\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

13. Συνηθισμένα Λάθη

• Λανθασμένη ρύθμιση DEG/RAD στην αριθμομηχανή.
• Αγνόηση τεταρτημορίου στις αντίστροφες συναρτήσεις.
• Πρόωρη στρογγυλοποίηση αποτελεσμάτων.
• Αγνόηση φαινομένου αμφισημίας στον νόμο των ημιτόνων.

14. Μικρές Ασκήσεις με Λύσεις

Άσκηση Α

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία \( \alpha = 35^\circ \) και υποτείνουσα \( c = 12 \). Βρες τις κάθετες πλευρές:

\[ a = c \sin \alpha = 12 \times \sin 35^\circ \approx 6.88, \quad b = c \cos \alpha = 12 \times \cos 35^\circ \approx 9.83 \]

Άσκηση Β

Σε τρίγωνο με \( a=7, b=9, \gamma=120^\circ \), βρες την πλευρά \( c \) με νόμο των συνημιτόνων:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 49 + 81 - 2 \times 7 \times 9 \times \cos 120^\circ = 49 + 81 + 63 = 193 \]

Άρα:

\[ c \approx \sqrt{193} \approx 13.89 \]

Άσκηση Γ

Λύσε την εξίσωση \( 2 \sin x \cos x = \frac{1}{2} \) για \( x \in [0, 2\pi) \):

\[ 2 \sin x \cos x = \sin 2x = \frac{1}{2} \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ή} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12} \]

15. Πέρα από το Επίπεδο: Σφαιρική Τριγωνομετρία

Σε σφαίρα, οι πλευρές είναι τόξα μεγάλων κύκλων.

Νόμος ημιτόνων σφαιρικού τριγώνου:

\[ \frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C} \]

Νόμος συνημιτόνων σφαιρικού τριγώνου:

\[ \cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \]

Εφαρμόζεται σε GPS, αστρονομία και χαρτογραφία.